これは何通り?~重複組み合わせ~|岡山の進学塾|加藤学習塾・個別指導塾

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これは何通り?~重複組み合わせ~

加藤学習塾ブログ

2023/03/31

みなさん、こんにちは。

今日は高校数学ですが、重複組み合わせの場合の数を考えてみましょう。
重複組み合わせとは、同じものを何個でも選べるときの場合の数です。


問い:「リンゴ5個・バナナ5個・オレンジ5個から好きなものを5個選ぶときの場合の数は何通りですか?」



どれも最大値5個なので、同じものを何個でも選べる重複組み合わせですね。
普通に考えると、「リンゴが5個のとき」・「リンゴ4個とバナナ1個のとき」・「リンゴ3個とバナナ1個とオレンジ1個」のときというふうに1個1個考えるのも一つの解法です。しかし、全てのパターンを考えるのは大変ですね。

そこで、高校数学の重複組み合わせの解法を使います。
好きなものを5個選ぶのですが、どの5個にするのか分からないので、とりあえず○5個あると考えます。これに仕切り棒||2本用意します。これの並べ方を考えます。

例えば、「○○|○○|○」ならば、「リンゴ2個とバナナ2個とオレンジ1個」の場合。
他にも、「○○||○○○」ならば、「リンゴ2個とバナナ0個とオレンジ3個」の場合と考えることが出来ます。

よって、丸○5個と仕切り棒||2本の合計7個を並べるので、まず7個のうち仕切り棒||2本の位置を何番目にするかを考えて、1本目は7通り、2本目は残りの6通りなので、「7×6」。ただし、1本目と2本目の順番を入れ替えたとしても仕切り棒の位置が同じ位置になるので2で割ります。よって、7個のうち2本の仕切り棒の位置は21通りになります。
そして、残った5個の位置に丸○を敷き詰めれば良いので、それで解答は完成です。
よって、答えは21通りです。

フルーツ5個取り放題のセールがあったら、どういった組み合わせがあるのかを計算できますね。

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