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円錐について～側面と底面の関係～
加藤学習塾ブログ
2023/02/08
みなさん、こんにちは。
中１数学で円錐が出てきますね。
円錐の側面と底面の関係にどんな関係があるでしょうか？
円錐の側面はおうぎ形をしており、その半径の長さは母線の長さに等しく、その弧の長さは底面の円周と等しくなります。
よって、おうぎ形の弧の長さと底面の円周の長さの等式を作ると、
２×（母線の長さ）×（円周率π）×（中心角÷３６０）＝２×（底面の円の半径の長さ）×（円周率π）となります。
これの両辺を２×（円周率π）で割ると、（母線の長さ）×（中心角÷３６０）＝（底面の円の半径の長さ）、
さらに両辺を（母線の長さ）で割ると、（中心角÷３６０）＝（底面の円の半径の長さ）÷（母線の長さ）と変形できます。
よって、両辺とも分数の式になったので、分母と分子から比を考えることが出来ますね。
すると、（中心角）：（３６０）＝（底面の円の半径の長さ）：（母線の長さ）が成り立ちます。
つまり、母線の長さが一定の場合、側面の展開図のおうぎ形の中心角が大きいほど、底面の円の半径の長さが長くなるという比例の関係が成り立ち、
また、底面の円の半径の長さが一定の場合、母線の長さが長いほど、側面の展開図のおうぎ形の中心角の大きさが小さくなるという反比例の関係があります。
では、次に円錐の側面積を考えてみましょう。
おうぎ形の半径は母線の長さなので、面積は、（母線の長さ）×（母線の長さ）×（円周率π）×（中心角÷３６０）ですね。
今、（中心角÷３６０）＝（底面の円の半径の長さ）÷（母線の長さ）が成り立っているので、
代入して式を変形すると、（母線の長さ）×（底面の円の半径の長さ）×（円周率π）になります。
つまり、側面の中心角が分からなくても、母線の長さと底面の円の半径をかけて円周率πを付けるだけで、側面積は計算できます。
すごい計算が楽ですね。
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