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中学数学 高校入試レベル問題にチャレンジ！！～追いつかれて追い抜いたときの速さはどのぐらい？～
加藤学習塾ブログ
2024/12/03
みなさん、こんにちは。
今日は以下の問題にチャレンジ！！
高校入試レベルですが、問題条件をしっかりと情報整理して着実に正答に近づこう！！
問い：「K君は、車を運転してT駅を午前８時に出発して、T駅から６ｋｍ先のS駅に到着しました。その後、６分間、S駅の駐車場で待機して、Ｍさんを車に乗せた後で、S駅から１２ｋｍ先の水族館に行きました。K君の車の運転速度は、T駅からS駅までは時速３０ｋｍ、S駅から水族館までは時速４０ｋｍです。K君は常に安全運転で、速度は一定で、渋滞はなく信号などで止まった時間は考えません。次に、T駅を出発するバスを考えます。バスはT駅を午前８時６分に出発して、途中S駅を通り過ぎて、水族館に向かいます。K君の車と同じ道を通り、S駅は通り過ぎるだけで止まりません。このバスはT駅から水族館まで一定の運転速度であり、渋滞はなく信号などで止まった時間は考えません。このバスは、Ｋ君がＳ駅の駐車場で待機している６分間の間にＳ駅を通過しましたが、水族館に向かっている途中でＫ君が運転する車に追い抜かれました。さて、このバスの速度について分かることを「バスの速度は時速～より大きく、時速～より小さい」という形で簡潔に書きなさい」
【解答：バスの速度は時速３０ｋｍより大きく、時速３６ｋｍより小さい】
ポイント
①K君の運転する車について、経過時間と進んだ距離の一次関数を作ろう
②バスについて、①で作成したＫ君の車のグラフのどこを通ればよく、そのために、バスの経過時間と進んだ距離の一次関数の傾きの最小値と最大値がどうなるかを考えよう
まず、Ｋ君の運転する車について考えます。
時速だと計算しづらいので、分速に直します。（÷６０をする）
時速３０ｋｍ→分速１／２ｋｍ、 時速４０ｋｍ→分速２／３ｋｍですね。
よって、６ｋｍあるＴ駅からＳ駅まで運転するのに、６ｋｍ÷分速１／２ｋｍ＝１２分、
１２ｋｍあるＳ駅から水族館まで運転するのに、１２ｋｍ÷分速２／３ｋｍ＝１８分ですね。
これを1次関数のグラフにしていきます。
グラフの横軸を「経過時間（分）」、縦軸を「進んだ距離（ｋｍ）」にします。
途中、S駅で６分待機することを考慮すると、以下のグラフの青線部分になります。
次にバスの動きを考えたのが、グラフの赤線と緑線です。
Ｔ駅を午前８時６分出発なので、座標（６,０）を通るグラフを考えます。
「Ｋ君がＳ駅の駐車場で待機している６分間の間にＳ駅を通過し、水族館に向かう途中でＫ君が運転する車に追い抜かれる」ことを考えるので、
上のグラフの緑線と赤線の間にバスのグラフがあると、「１２分≦ｘ≦１８分」のときの青線と交わり【バスがK君の車がS駅で待機している間にS駅を通過して】、「１８分≦ｘ≦３６分」のときの青線と再度交わります【バスがＫ君が運転する車に追い抜かれる】。
よって、バスのグラフはグラフの緑線のときよりも傾きが大きく、グラフの赤線のときよりも傾きが小さくなります。
ここでの、傾きは速度を表すので、それぞれの傾きを求めれば解答となります。
緑線のときは、座標（６,０）と（１８,６）を通るので、傾きは、（６ー０）／（１８ー６）＝６／１２＝１／２。
これは分速を表すので、６０倍をして１／２×６０＝３０より、時速３０ｋｍよりは大きい。
また、赤線のときは座標（６,０）と（３６,１８）を通るので、傾きは、（１８ー０）／（３６ー６）＝１８／３０＝３／５。
同様に６０倍して、３／５×６０＝３６より、時速３６ｋｍよりは小さい。
どうでしたか？
今回は1次関数のグラフを考えることで、バスの速度を表すグラフの傾きを考える問題でした。
グラフは視覚化されるので活用方法がかなりあります。
演習を積んでいろんな問題にチャレンジ！！
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