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中3数学の問題に挑戦～空間図形の切り口はどうなる～
加藤学習塾ブログ
2023/06/30
みなさん、こんにちは。
今日は中3数学の問題に挑戦してみましょう。
問い：「1辺が８ｃｍの正四角錐OーABCD（頂点がOで底面が正方形ABCDな正四角錐）があります。辺OBの中点をPとするときに、この正四角錐OーABCDを3点A、D、Pを通る平面で切った切り口の図形の面積は何㎠ですか？」
まず、切り口がどうなるかですが、ポイントは「①3点A、D、Pが同じ辺上なら結ぶ。②その結んだ辺と平行な辺を引く」です。
よって、まず、同じ辺上のAとD、AとPを結びます。そして、ADと平行な辺で三角形OBC上でPと交わる辺を引きます。この辺と辺OCとの交点をQとします。
すると、切り口はAD∥PQの台形ADQPになります。
AD＝８ｃｍ、PQは中点連結定理によりBCの半分の長さになるので４ｃｍです。
次は高さを考えましょう。
Pから辺ADに垂線PHを引きます。
台形ADQPは等脚台形なので、AH＝（ADーPQ）÷２で出てきます。よって、AH＝２ｃｍです。
三角形OABは正三角形で、Pは辺OBの中点より、辺OBと辺APは垂直に交わります(二等辺三角形の「頂角の二等分線は底辺を垂直に２等分する」という性質より)。
よって、三角形APBは∠APB＝９０°、∠ABP＝６０°より、AB：AP＝２：√３なので、AP＝４√３ｃｍです。
よって、三角形APHにおいて三平方の定理より、PH²＝AP²ーAH²なので、PH＝２√１１ｃｍになります。
したがって、台形ADQPはAD＝８ｃｍ、PQ＝４ｃｍ、高さPH＝２√１１ｃｍなので、面積は（８＋４）×２√１１÷２＝１２√１１㎠になります。
ポイントは切り口を考えるときに、「同じ辺上の２点を結んだ辺と平行な辺を引く」ことです。よって、切り口が台形だと気付けるかどうかですね。
今回の問題は中点連結定理や二等辺三角形の性質、三平方の定理など、図形で頻出な定理が出てくるので、中３の高校入試までに解けるようにしておきたいですね。
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